學海：數學 Learn: Mathematics - 第 4 課：數線 | The Number Line

一：數可以放在一條線上

之前我們學過：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ57YNxZhlKb
> 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

這些數可以代表數量。

例如：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡzj303fr50Y
> 3 粒糖果41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ9TJkIzNCbA
> 5 本書41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡHrZyFFxiaO
> 0 隻貓

但數學入面，數不只可以表示「有幾多」，還可以表示位置。

我們可以將數放在一條線上：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡrXWicAP0X5
> 0 —— 1 —— 2 —— 3 —— 4 —— 5 ——...

這條就是叫：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡH2iFbBABnp
> 數線 | Number Line

數線會幫我們分析：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ7X2hxbHHLG
> 那個數大？41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡqtTv2sOw1P
> 那個數小？41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡuZqx1Tl2ou
> 兩個數相差幾多？41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ9p9Kpg4jE6
> 加一、減一是如何移動？

二：數線是甚麼？

數線是一條有方向、有刻度的線。

暫時我們只用由 0 開始向右的數線：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡbyNxjk4Nz7
> 0 —— 1 —— 2 —— 3 —— 4 —— 5 —— 6 —— 7

每一個數都有自己的位置。

例如：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡTkumx3NrbE
> 0 在最左邊41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ6haQT7NHWM
> 1 在 0 右邊一步41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡCy4ro4Wkcg
> 2 在 1 右邊一步41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡeGjBUCBryx
> 3 在 2 右邊一步

所以數線上每行一步，就代表：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ2iaBy0759S
> 數量加 1

三：數線有三個基本意思

1. 位置 | Position

每個數都有一個固定位置。

例如：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡYs49UjoF5e
> 4 在 3 的右邊41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡsMptXRNj5d
> 2 在 3 的左邊

所以 4 和 2 不可以亂放，它們有清楚位置。

//

2. 方向 | Direction

現在我們用的數線：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡRh096ltQ0I
> 向右 = 數字變大41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡnRnQ6XBghI
> 向左 = 數字數小

例如：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ6GjqvWM7id
> 2 → 3 → 4

向右走，數字越來越大。

相反：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡbK6CSjezcd
> 4 → 3 → 2

向左走，數字越來越小。

//

3. 距離 | Distance

數線上兩個數之間可以有距離。

例如：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ03ZavJMuz3
> 2 —— 3 —— 4 —— 5

由 2 去 5，要行：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡbowNlMiaaZ
> 2 到 3：一步41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡJUpxPRd10J
> 3 到 4：一步41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡKk05AYzBuC
> 4 到 5：一步

一共：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡG8SVUsqnIR
> 3 步

所以 2 和 5 相差 3。

四：例子，在數線上找位置

例子 1：3 在哪裏？

數線：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ9UrcrP0Yeq
> 0 —— 1 —— 2 —— 3 —— 4 —— 5

由 0 開始數：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡUkONxT7TLo
> 041Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡr1Y8oBmaDO
> 向右一步：141Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡjivJZfIdd5
> 再向右一步：241Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡbyEebbpPWy
> 再向右一步：3

所以 3 在：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡOUcU7xUsUV
> 0 右邊第 3 位置。

//

例子 2：5 比 2 大，如何在數線找到？

數線：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡyKPmtDS9wy
> 0 —— 1 —— 2 —— 3 —— 4 —— 5

2 在左邊，5 在右邊。

在現在的數線入面：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ8IvHA8vmJF
> 右邊的數比較大。

所以：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ1FfRI5Y7QB
> 5 > 2

五：用數線比較大小

例子 3：填入 >、<、=41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡGfSXjKVRKh
> 3 _ 6

數線：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡQ1vGifexaE
> 0 —— 1 —— 2 —— 3 —— 4 —— 5 —— 6

3 在 6 的左邊。

左邊的數比較小，所以：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡNZKIltfSwO
> 3 < 6

//

例子 4：填入 <、>、=

> 7 _ 4

數線：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡW8SGnAXKKq
> 0 —— 1 —— 2 —— 3 —— 4 —— 5 —— 6 —— 7

7 在 4 的右邊。

右邊的數比較大，所以：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡvjyC39Si7J
> 7 > 4

六：數線令「多幾多」更清楚

之前的課我們說過：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡV07sxOseBd
> 5 比 3 多 2

現在可以用數線觀看。

數線：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡMZVF1zyyrZ
> 0 —— 1 —— 2 —— 3 —— 4 —— 5

由 3 行到 5：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ5r35c76512
> 3 → 4：一步41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡn599TBHe9g
> 4 → 5：一步

一共行了 2 步。

所以：

> 5 比 3 多 241Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡzp7bDgcRFe
> 3 和 5 相差 2

這裏你開始看到：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡhx2mJkljwI
> 「多幾多」其實可以理解成數線上的距離。

七：0 在數線上的意義

0 在數線上是起點：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡEYAi2Fsoq7
> 0 —— 1 —— 2 —— 3 —— 4

如果你在 0，代表：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡBlZm38V1ku
> 目前沒有任何一個。

如果向右行一步：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡSLasQGABge
> 0 → 1

代表：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡT74N1QI73I
> 由沒有，變成有一個。

再行一步：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡwKGgb0AoiP
> 1 → 2

代表：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡYoDP8nETNV
> 由 1 個，變成 2 個。

所以數線將「數量增加」變成一個很清楚的畫面：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡjkhDiiXv3e
> 每向右行一步，就多 1。

八：例子，中間隔住幾多步？

問題：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡUY6pCMzJnA
> 2 和 6 相差幾多？

數線：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡruqF2JmDDB
> 0 —— 1 —— 2 —— 3 —— 4 —— 5 —— 6

步驟 1：由 2 開始

不好由 0 開始數距離。41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡw03EjM0YVu
題目問 2 到 6，所以由 2 開始。

步驟 2：逐步行到 6

> 2 → 3：第 1 步41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡd21KvxEx5N
> 3 → 4：第 2 步41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ29poq9WyR1
> 4 → 5：第 3 步41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ3AT1LguMOU
> 5 → 6：第 4 步

所以：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ7d23Qv4j8e
> 2 和 6 相差 4。

提醒：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡg80hGTBCoM
數「距離」時，不是數有幾多個數字，而是數有幾多段路。

例如由 2 到 6：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ3rgztmZ94b
> 2, 3, 4, 5, 6

這裏有 5 個數字，但距離是 4 步。

這點很容易混淆。

九：數位置 vs 數距離

這裏要分清楚兩件事。

數位置：

由 0 去 4：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡCJleovTlkn
> 0 → 1 → 2 → 3 → 4

4 在 0 右邊第 4 步。

所以 4 這個位置代表：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡNaRwCgCV7U
> 由 0 開始行 4 步。

//

數距離：

由 2 去 4：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡunCglfK8VD
> 2 → 3 → 4

只行 2 步。

所以 2 和 4 的距離是：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡO2PzxywaVb
> 2

同一個數字 4，在不同問題入面可能有不同角色竹：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡlxqNhWrGXI
> 4 可以是位置41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡA5dq8dXkWM
> 4 亦可以是數量41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡX3ddn7rTVK
> 4 亦可以是距離

數學入面，分清楚「你現在在問甚麼」很重要。

十：數線可以幫你排序

假設有三個數：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ3FNlf15Ma7
> 6, 2, 4

要由小至大排列。

數線：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡEwAVqJZrfL
> 0 —— 1 —— 2 —— 3 —— 4 —— 5 —— 6

由左至右觀看：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡbs4qwXq0VG
> 2 先出現41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡJuqT19FXcn
> 然後 441Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡJkBtPc0yNJ
> 最後 6

所以由小至大是：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡgdToJkZ3Qu
> 2, 4, 6

由大至小就倒轉：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡNqVAKQXzGL
> 6, 4, 2

十一：例子，哪個離 0 較遠？

問題：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡa4paTrrJpo
> 3 和 5，哪一個距離 0 較遠？

數線：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡACY8qFeF4U
> 0 —— 1 —— 2 —— 3 —— 4 —— 5

由 0 到 3：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡqtpAfi3zPh
> 3 步

由 0 到 5：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡPQAgwcRJFO
> 5 步

所以：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡNYNnzOatbd
> 5 距離 0 較遠。

這句其實亦等於：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ5AkkDtdDN8
> 5 比 3 大。

在目前只用 0 和正整數的世界入面：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡsriXJ1IRtR
> 離 0 越遠，數量越大。

十二：數線上「相鄰」的數

例如：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡgsawYL0ykz
> 0 —— 1 —— 2 —— 3 —— 4 —— 5

1 和 2 是相鄰。41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ7DFn92NeuZ
2 和 3 是相鄰。41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡnisJLedATe
4 和 5 是相鄰。

相鄰意思是：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡl3lmG976lg
> 中間沒有其他整數。

每一個數右邊下一個數，都是比它多 1。

例如：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡyCpEejr0Fb
> 3 右邊下一個是 441Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ5QRoov3qcS
> 4 比 3 多 141Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ723CWpXaQv

每一個數左邊上一個數，都是比它少 1。

例如：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ6ZPG4oL0JR
> 3 左邊上一個是 241Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ23YnPFawTj
> 2 比 3 少 1

這個概念將棧來會分別變成：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡOi5nq4pCpU
> 後繼數 | Successor41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡCDshglwPrA
> 前一個數 | Predecessor41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡcoy2nWTgTT

十三：小心，數線上的空格要一樣闊

一條正確的數線，刻度之間距離要相等。

例如：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡt77CMlNb5Q
> 0 —— 1 —— 2 —— 3 —— 441Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡw9th75Mvxi

每一段都代表 1 步。41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡNhUAeygvgT

不可以畫成：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ3bt1k6Ovnb
> 0 —— 1 ——————— 2 — 3 —— 441Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ5se5BUM6u5

如果距離亂了，會令人誤會 1 到 2 好像比 2 到 3 遠了很多。

數線重要的地方是：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ2vgNjNJSJW
> 相同差距，要畫成相同距離。41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ2ou1OHrPvG

十四：綜合例子，用數線解三個問題41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡFEzLXr87Pj

數線：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ9Cmo3QwaZx
> 0 —— 1 —— 2 —— 3 —— 4 —— 5 —— 6 —— 741Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡp3bZXW33k4

問題：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡGFT6EOCNN6
1. 6 和 3 誰大？41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡIzgHIHEegW
2. 6 和 3 相差幾多？41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ87YZDAdjoM
3. 由 3 向右行 2 步會去到哪一個數？41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡWOjFcsYdtV

第一問：6 個 3 誰大？41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡJstNvD0GJ6

6 在 3 右邊。

所以：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡSIkHPXZszF
> 6 > 341Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡrWsbxA4beZ

第二問：6 和 3 相差幾多？41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡsP15FgwhTY

由 3 行到 6：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ0yh7aM0IvM
> 3 → 4：一步41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡTeqneS9b34
> 4 → 5：兩步41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡpdirANHHem
> 5 → 6：三步41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡUkXX5tkSIV

所以：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡfwLaOXt98h
> 相差 3

第三問：由 3 向右行 2 步會到哪一個數？41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ3PPbuOiRib

由 3 開始：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡhuhnEGhEgW
> 3 → 4：第一步41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ7PUaWsap7N
> 4 → 5：第二步41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡbBdBkF1Bwu

所以去到：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡmCdcGIY2V3
> 541Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡG81rGQo9DB

你看到同一條數線，可以回答不同類型的問題：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡiddY8eMEsu
> 比較大小、計算距離、表示移動41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡAWlAjPnFrd

十五：今日小結41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡNfS9Ctc6aH

今課你掌握了：41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡKgU71DODGz

1. 數線是將數放在一條有方向、有刻度的線上。41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡTBUEQH8LP2
2. 在目前的數線入面，向右的數字變大，向左的數字變小。41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡAbQezpczBN
3. 數線可以比較大小：右邊的數比左邊的數大。41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡHJ9v228Iox
4. 兩個數之間的差距，可以理解成數線上相隔多少步。41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡvYcy7r5l6l
5. 數位置同數距離不是完全一樣，要看清楚題目在問甚麼。41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡoAe8Myxm1E
6. 相鄰兩個整數相差 1。41Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡf9VEDwrlQ5

數線將「數量」變成「位置」，再將「比較」變成「方向和距離」。

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