學海：數學 Learn: Mathematics - 第 3 課：零與「沒有」 | Zero and Nothing

一：沒有東西，需不需要一個數？56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡpmEfAWoe7z

想像枱面有糖果。

有 3 粒糖果：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡsJnlGD6s2f
> 🍬🍬🍬56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ7n57NwnC9B

我們可以說：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡOqhtno9q2k
> 有 3 粒糖。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡIcEcweSHiw

有 1 粒糖果：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ04urWOmkbz
> 🍬

我們可以說：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡdEeTqCt8ob
> 有 1 粒糖果。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡjvOYUQIiYg

但如果枱面完全沒有糖果呢？

我們可以如何說出來？

日常語言可以說：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡPtmq9cXK1f
> 沒有糖果。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ3QBN4Fijpv

數學語言就會說：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ78GKd81S1g
> 有 0 粒糖果。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡxI1MlNSmRK

所以 0 是來表示：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ4APCxCYOOH
> 一個集合裏面沒有任何成員。

二：0 不是「空白」56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡNJNidBddcv

這裏面分清楚：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡzzuSaFxJK1
> 空白不等於 056Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡhjtpBScuK6

例如：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡBvOUj21w0c
- 「有 0 粒糖果」，意思是沒楚表示沒有糖果56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡuvkadmBBYH
- 沒有寫任何東西，意思是可能是忘記寫、未填、未知56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡkqs6AZxmz5

所以 0 是一個正式的數學符號。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ2QGvf48dwU
它不是「沒有答案」，而是一個答案。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡRLDEwwnoUe

例如問題是：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡzzRgkFArtv
> 枱面有多少隻貓？

如果枱面沒有貓，答案不是空白，而是：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ4YkbLegywX
> 0 隻貓。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡBw2nZIx59U

三：0 代表空集合的大小56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡZuEZ4PjDyU

上一課我們講過：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡQxArhrcnIZ
> 數量 | Quantity56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡZoUaw3tlTm
> 集合大小 | Cardinality56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡSAnWbe8WQf

如果一個集合入面有三個物件：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡgVGZVZnB85
> {蘋果，橙，香蕉}56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡfktCCdGjeY

它的數量是：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡQNcaeuzHIc
> 356Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡNTDOfTOttl

如果一個集合裏面甚麼都沒有：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡV2ZkRP70tB
> {}56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡUD4WmJGI5V

它的數量是：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡnF1HNjy2LZ
> 056Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡl6t9HSon1k

這個叫：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡxLqTnLD38A
> 空集合 | Empty Set56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ6xgo7qHn2R

現在不需要深入集合論，只要記住：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ4tiLvyx6ki
> 空集合不是「不存在」，而是「存在一個集合，但入面沒有成員」。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡlLrfPTRDR5

例如：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡV3RIkSnZwa
> 我個背包入面的恐龍模型收藏56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡuWZHf2cjVp

如果你的背包入面沒有恐龍模型，這個集合就是空集合，數量是 0。

四：簡單例子56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ9Bk4XhuQs2

例子 1：數蘋果

枱面有：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡmO42lGKQlJ
> 🍎🍎56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡc2aPozobpl

數量是：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ1GCLNVShVB
> 256Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡnUhbsXuZeX

如果吃了一個：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡEvm5dv9zZh
> 🍎56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡVXNe2WHkFO

數量變成：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡonfT4gP71w
> 156Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡdW4th0t8sg

如果再吃了一個：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ5Omc7yUbNy
>56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡsIDcW8zjQc

數量變成：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ0jN9Vk8tJX
> 056Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡzl3BC7ncLP

所以：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡYMQPlqiL5y
> 0 是「數到最後沒有剩餘」的狀態。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡDqaRiNlpjQ

例子 2：比較 0 和其他數

A 組：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡloQ3mk8pGB
>56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡjOh7vbIST7

B 組：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ5iNboR3Ti6
> ⭐⭐⭐56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ5tuLRxhVV4

A 組有：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡgrWS2c9P6T
> 0 個

B 組有：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ7ebYJuGUAy
> 3 個56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡEugFv27JsU

所以：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡOJ770NA5kA
> 0 < 356Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡhLgsjnghHk

讀作：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡZ1C5EApYe2
> 0 小於 356Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡaLN7Q3bots

五：0 和「一一對應」

上一課我們月一一對應比較多少。

A 組：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡElbmSS48yl
>56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡh5NfGKnUxZ

B 組：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ8bhwKSzWs2
> 🐟🐟56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ4ZnW1diONY

如果你想配對：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡTaikmzdRVP
> A 組沒有任何物件可以配 B 組的魚。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ8t2M7uR6FP

B 組會全部剩下。

所以：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡw6BqgZBNDv
> A 組少於 B 組。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡYVGY4eHCcr

即是：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡcaJlAbZSgq
> 0 < 256Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ4vsL0wwLmg

但如果兩邊都沒有東西：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡFvTNOQUJ4B

A 組：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡEVuJ1IGthd
>56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡUxdodnH7RZ

B 組：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡEnbBqlc4Wv
> 56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡvI04PAxF1d

兩邊都沒有物件剩低。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡxdRttSGIg6
所以它們的數量相等：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡa48WsB2q4x
> 0 = 056Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡsrgN5lYZDq

0 可以比較、可以相等、可以小於其他數。這個已經顯 0 是一個真正的數，不是「沒有意思」的。

六：0 在數線上的位置56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡNUOiSHEyFQ

我們暫時只看由 0 開始向右數：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡFyR1FV9WLF
> 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡqnC9CcvY65

可以想像成一條線：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡqe9Uq8boaH
> 0 —— 1 —— 2 —— 3 —— 4 —— 5 ——...56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡDVz7Eeki7O

0 是我們目前數字世界的起點。

意思是：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡCu7Dr0IKrY
> 沒有任何物件，再加一個，就是 1。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡRTgPGNqqNk
> 再加一個，就是 2。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡXCDBwZ9d5U
> 再加一個，就是 3。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡmsqDOdxeXV

所以 0 是「開始計數之前」的數量狀態。

七：0 和 1 的分別好重要56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡnztGT93QLa

好多時，初學者會覺得：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡh9wwqEB9um
> 0 和 1 都很小，好像差不多。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡEtiKZLbCBs

但它們差別非常大。

0 代表：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ0g0FaI8pS9
> 沒有任何一個。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡxE6QS8eB7q

1 代表：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡl9a4N26vRq
> 有一個。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡOh3q7Yv3gU

例如：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡrhveAA9mXE
> 0 隻狗 = 沒有狗56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡUW0YhBY8sg
> 1 隻狗 = 有一隻狗56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡMiR2gQq0F3

這個不是小小的差別，而是：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡBbWkUmRIVP
> 從「無」到「有」的分界。

八：需要思考的例子：0 是不是「最少」？56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡwhfU8WgDhj

現在我們只學過：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡL32OTt33es
> 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡL7Zbo848Bj

問題：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡhAMZEHltiC
> 0 是不是最少的數？56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡXaTSBmonvB

在目前這個階段，答案是：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡEuXIPIAp3d
> 是。在「數物件數量」的世界入面，0 是最小。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡm7Sf6G6Boa

因為一堆物件最少可以是：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡOmPdJNtYFm
> 一件都沒有。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡktTSkPEunq

但不可以為：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ7kx7vKo1Cl
> 少於沒有。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡxOhNw7Smhy

所以對於「有幾多件物件」這個問題：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡf7AehjhNSv
> 0 是最低數量。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡwauGmKYkL1

不過將來，當我們學了負數，例如：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ9eQO1sp4zK
> -1, -2, -3

到時就會發現：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡyaIwdSpLOo
> 在更大的數字世界入面，0 不再是最小。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡBKMf7khOzJ

九：0 會不會改變數量？56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡesqjFIbzRK

想像你有 4 粒糖果：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡSMQUjARxpq
> 🍬🍬🍬🍬56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡbcSMkfNz3c

如果我給你 0 粒糖果，即是沒有給你任何糖果。

你仍然有：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡe8QnTQwRcJ
> 4 粒糖果56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡgAWFyuM6Bw

所以：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡNSSW0PgprK
> 4 加 0，仍然是 4。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡPS8PAJbXUi

我們未正式學加法，但可以先建立直覺：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡeixMn75et2
> 加 0 = 沒有增加56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡEWAuJFWU8e
> 數量不變56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡohRLhzcMXQ

例如：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡfXq7jqkXV6
> 2 個蘋果，再加 0 個蘋果，仍然是 2 個蘋果。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡoypTddg6i8
> 5 本書，再加 0 本書，仍然是 5 本書。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ4zKUVUtqMd

這個性質是：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ2W8tSjVISX
> 加法恆等元 | Additive Identity56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡAY8F85o0nA

十：為何 0 令數字系統更完整？56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ2HXajdcLcc

如果沒有 0，我們會這樣理解：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡPMi1CZ4qFI
> 1, 2, 3, 4, 5, ...56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡnrLRS5qjMn

但遇到「沒有任何一個」就沒有正式數字表示。

這樣數學會變得很不方便。

例如：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡWaBvucjZkg
> 昨日賣出 3 個蛋糕。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡIOykg1gcY6
> 今日賣出 0 個蛋糕。

有了 0，就可以將「沒有賣出」和其他數量放在同一套系統入面記錄。

又例如：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡvNZFojXP5i
> 星期一賣了 3 個蛋糕。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡjtXsadyNc1
> 星期二賣了 5 個蛋糕。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡfMNBkqQiwr
> 星期三賣了 0 個蛋糕。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡTsI3dWIBU5
> 星期四賣了 2 個蛋糕。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡF4FvL0mhK2

0 令「沒有」都以被計算、比較、記錄。

這個是一個巨大進步：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡTJ2Wq2LDJu
> 數學不只處理「有」，亦可以正式處理「無」。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡvPGluh6Bqf

十一：今日小結

今課你掌握了：56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡfDdCl83kM9

1. 0 表示一個集合入面沒有任何成員。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡNiwYvgkUD4
2. 0 不是空白：0 是一個正式答案。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡRx9lNU1ceR
3. 0 可以和其他數比較，例如 0 < 3，0 = 0。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡQT0wQeZNPC
4. 加 0 代表沒有增加，原本數量不變。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡntM1PgEy5c
5. 在數物件數量的世界入面，0 是最低數量。56Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ6YPuzV8L4Y

0 是「沒有」的數學形式，但它本身不是沒有意義。

ns216.73.216.75da2

Reading Theme:

Font Size:

Line Spacing:

Paragraph Spacing:

Load the next issue automatically