對妳收斂 - 59 要件

10月22日，週三，讀書會。

這週的題目，由雛熙預先傳到讀書會的群組上，一共三道題，請成員們在讀書會前各自嘗試，當天再正式討論解法。

前一天晚上，凪甯把題目瀏覽了數遍，第一道題勉強想出了方向；第二道題則卡了很久，依然沒有結果；第三道題，則在看完題目之後，直接宣告放棄，闔上筆記本去洗澡了。

到討論室時，亦璿和思穎已經在了，苡宸比凪甯晚幾分鐘進來，嘉楚是最後一個，推開門的時候，甚至還在整理袖子，嘴巴上嚷嚷著剛從練習場過來，沒有時間換衣服。

雛熙和瑀歆都已經就座。

「好，人都到齊了，」雛熙說，「那接下來，我們就從第一道題開始。」

／

第一道題不算難，大家都有思路，討論很快就結束了。

第二道題，是明顯的應用題，需要從文字情境裡找出兩組式子之間的關係，再列出聯立方程式求解。這道題所須花費的時間較長，嘉楚在草稿紙上算了兩遍，苡宸問了思穎一個步驟，亦璿說他的答案和題目的選項對不上，在旁邊重新計算。

「我的做法，是從比例關係切入。」雛熙等到所有人都提出自己的看法後，才接著開口。

她把草稿紙放在桌上，指著其中一行：「這兩個量之間，存在固定的倍數，直接進行假設，就能繞過中間的代數推導，方程式也能隨之進行簡化了。」

「啊？這樣也可以？」苡宸看了一眼，「我完全沒有往這個方向思考耶……」

「幾何關係裡，有時候正巧藏著比例，」雛熙說，「相應的係數看習慣了之後，解題時就會習慣性先往這個方向嘗試。」

她說得很平靜，如同陳述著一件客觀的事實。

凪甯朝瑀歆看了一眼。

瑀歆沒有說話，低著頭看向雛熙的草稿。她的表情平靜，但凪甯約略注意到，她的視線停在雛熙那行「直接假設」的地方。

比在其他地方視線駐足的時間，多停留了一些。

「瑀歆，妳呢，是怎麼做的？」嘉楚問。

「我從定義出發，」瑀歆說，抬起頭，「把兩個未知數的關係逐步建立，再用聯立方程式求解。步驟多了些，但每步都有依據。」

她把自己的草稿紙推過去，嘉楚接過後看了幾眼，點頭說：「這個方法比較好懂，我能跟上每個步驟。」

「這樣看起來，雛熙的方法比較快，」思穎說，「不過──我也比較看得懂瑀歆提供的方法。」

「沒關係，各有各的方式。」雛熙說道，沒有再多加評論。

討論接續進行，針對第三道題，凪甯把自己的草稿紙翻出來，上面只有寥寥幾行，最後一行，是她不確定該怎麼延續的式子，後面一片空白。

她默默地在旁聽著大家討論，低垂著頭，偶爾在草稿紙上補幾個步驟。

讀書會結束前，雛熙說：「大家把今天討論的三道題，還有自己原本的解法，稍作整理後，週四之前繳給昀希老師，他說預計下週五討論課時，會使用到。」

「雛熙，要用手寫的，還是可以打字？」亦璿問。

「手寫，」雛熙說，「比較理想，昀希老師也說，他想看大家的解題過程。」

／

10月25日，週五，討論課。

討論課在下午第七、八節，由資優班的全體學生參與。教室比平常安靜，大概是因為期中考將至的關係，大家明顯都有些緊繃。

昀希老師把大家繳交給他的解法，都大略地翻過一遍，然後走到黑板前。

「今天，我們來看看，由雛熙所組成的AMC8讀書會，上週討論的第二道題。」

一間文具店販售兩種筆記本，A型和B型。

已知購買3本A型與2本B型，共需156元；購買1本A型與3本B型，共需122元。請問A型和B型筆記本各別的單價為何？

他說，「這道題有幾種解法，我分別明說一下。」

他先在黑板上寫下一種方法，

觀察兩個條件：

3A + 2B = 156　⋯①

A + 3B = 122　⋯②

將②乘以3：

3A + 9B = 366　⋯③

③−①：

7B = 210 B = 30

代回②：

A + 90 = 122 A = 32

∴ A型單價為32元，B型單價為30元。

接著解釋道：「這道題的第一種解題方向，是從『比例關係』切入，直接把倍數關係設出來，方程式便能就此簡化。這個切入點找得很乾淨，計算量少，答案也正確。」

他沒有特別說明，解法是由誰提出的，繼續說道：「另一種方式，則是從定義出發，逐步建立兩個未知數的關係，再透過聯立方程式，求出最後的解。」

設A型單價為x元，B型單價為y元。

由題意列出方程組：

3x + 2y = 156　⋯①

x + 3y = 122　⋯②

由②得：

x = 122 − 3y　⋯③

將③代入①：

3(122 − 3y) + 2y = 156

366 − 9y + 2y = 156

−7y = −210

y = 30

將y = 30代回③：

x = 122 − 3(30)

x = 122 − 90

x = 32

∴ A型單價為32元，B型單價為30元。

他在黑板上，把這個方法的步驟也寫了出來，一行行往下排列，比第一種方法多了將近一倍的篇幅。

「第二種方法，邏輯完整，每個步驟都有依據，」他說，「但這裡──」

3(122 − 3y) + 2y = 156

他停下來，用粉筆在其中一行旁邊畫了一個圈。

「這裡跳了一步。從這行到下一行，中間有個前提條件，需要先做確認，否則後面的推導會失去依據。」

他說這句話的時候，粉筆在那個圈上敲了一下，然後轉身面對全班。

「這裡要注意，代換之前，必須先確認代換式的前提是否成立──也就是方程式是否存在『唯一解』，這個『解』，又是否存在合理範圍內。」

「這些判斷應該在代入之前就明確寫出來，而不是算完之後才驗算，這是平常做聯立方程式的時候，很容易忽略的地方。」

「如果要跳過步驟，必須先確認跳過去的那步，它的前提是否已經成立。如果沒有預先確認，儘管看起來每行都對，但其實整個推導的過程，會有些站不住腳。」

「大家回去對照一下自己的解法，看有沒有類似的問題。」

凪甯坐在座位上，靜靜思考著，沒有動靜。她不需要對照自己的解法，因為她的解法，根本沒有走到那一步。

她的視線，停留在昀希老師說「這裡跳了一步」的時候，不自覺地偏向了旁邊。

因為坐在自己前面一排的緣故，這讓凪甯只能看到瑀歆的側臉，和她肩膀的輪廓。

昀希老師說那句話的時候，瑀歆的肩膀沒有動、表情不變，手也沒有動。

然而，就在昀希老師轉身繼續在黑板書寫的時候，凪甯看到瑀歆低下頭，把她的解法講義翻到那一頁，拿起筆，在那個步驟旁邊，輕輕畫了一條細線。

就只是一條線。

沒有畫叉，也沒有圈起來，就是條單純的、筆直的細線。

昀希老師繼續往下講解，教室裡的同學們不時在草稿紙上補筆記，部分則翻閱著自己的解法對照。

沒有人看向瑀歆。

／

討論課結束後，大家陸續收拾書包。

凪甯走出教室，在走廊上等了一下，等到瑀歆出來。

「歆歆，」她說，「要一起走嗎……？」

「好，」瑀歆說，把書包背上，「小甯，妳今天是騎腳踏車來的嗎，還是走路？」

「走路來的……，」凪甯說，「這樣就不用太著急。」

她們沿著走廊往下走。走廊上還有一些人，說話的聲音從各個方向傳過來，但她們兩個都沒有說話。

走到樓梯口的時候，瑀歆說：「剛剛昀希老師講解的那個步驟，回家之後，我想要補完整。」

「嗯……」凪甯說。

「就是漏掉了一個前提，」瑀歆繼續說，語氣很平靜，像在說一件小事，「補上去答案不會變，只是那兩行算式，確實本來就應該在那裡。」

凪甯沒有說「沒關係」，也沒有說「歆歆……其實妳很厲害了」，她就只是輕聲地說：

「嗯……歆歆妳記得補上去，這樣就好了。」

瑀歆沒有回答，點了點頭。她們繼續往下走，樓梯間的燈光昏黃，兩人的影子在牆上重疊又分開。

凪甯忽然想起昀希老師說的話：

聯立方程式的每個條件，都必須成立，才能找到正確的解。

但是，她沒有把這個想法說出來。

／

凪甯的數學日記

「聯立方程式──兩個條件，必須同時成立……才能找到唯一的解。若其中的條件本身有問題，整個方程組的解，都會跟著……偏掉。」

聯立方程式（Simultaneous Equations）

讀書會的時候，雛熙從比例關係切入，步驟很少，直接繞過了中間的代數推導。瑀歆從定義出發，每個步驟都有依據，寫了很長。

我坐在旁邊，兩人所分別寫下的計算過程，都看過了。

瑀歆的那份，每行都很清楚，但昀希老師在討論課上說，中間有個前提條件沒有確認。

我看到她在那個步驟旁邊，畫了一條線。

聯立的條件，是每個步驟都必須成立。

我在想，如果一個人同時要維持很多件事情──讀書會、成績、我……還有那些我不知道的──

若把這些條件放在一起，當其中一部分開始動搖的時候，其他的，會不會也跟著偏航？

／

瑀歆的數學補給站

「聯立方程式──兩個未知數，兩個條件，必須同時成立。」

聯立方程式（Simultaneous Equations）

討論課之後，我把那個步驟補完整了。

補完之後，答案沒有變。

多了兩行，本來就應該在那裡的，讓方程式成立的先決條件。

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