所有正整數都能夠分解成一組質因數。18Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡDvSV3cvaUS
2 = 218Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡiaNgwod3Fk
3 = 318Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡzrSKhEXxfp
4 = 2²18Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡQmMN5bUXGr
10 = 2 × 518Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡcebInX3SNI
49 = 7² 100 = 2² × 5²18Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡynA0FnEXYr
360 = 2³ × 3² × 518Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡGcFNXUntxL
429 = 3 × 11 × 13
我們可以進一步觀察出，所有大於1的正整數都只有一個獨特的質因數分解；而每一個獨特的質因數分解都只能相乘成同一個正整數。（由於乘法具有結合性質和交換性質，質因數的次序並不重要。）18Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡ3NMQbyjMR3
這個現象早在古希臘已被明確證明，收錄於歐幾里德《幾何原本》。時至現代，這個定律可以稱為 unique factorization theorem 或 prime factorization theorem 。不過，其實還有一個更加有型的名稱——算術基本定理（Fundamental Theorem of Arithmetic）
能被稱為基本定理的數學定理都是數學的中流砥柱，是證明其他數學定理的基礎。以算術為名似乎是歷史遺留，以當代數學分科，這條定理應歸屬數論（ number theory ）。
那麼，1又如何？
1被剔出質數之列，其中一個主因正是算術基本定理。由於 1 × 𝑎 = 𝑎 ，若然1被歸入質數，任何數的質因分解都可以任意加插1。這不會真的破壞算術基本定理，但會使這定理的表達方式變得麻煩。
由於1既非質數，亦非合成數，似乎無法寫成質因數分解。其實，只要引入空積的概念，1就能夠視為「『沒有質因數』的乘積」。18Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡzHJygLEiMC
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