各位早安。今天我們來註解一下,歐幾里得平面幾何大師的一首詩。
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開門見山,這首詩一開始有兩個集合,一個是「我」,一個是「妳」。而我們分析的元素,主要在 ℝ² 以2元組表示,即是 x-y 座標平面上的座標。
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致原在X軸上,至今卻已不在同象限的妳
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從第一分句,可以推斷集合「妳」的所有元素都在X軸上。
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設「妳」= { ∀(x,y) ∈ ℝ² | y = 0 },47Please respect copyright.PENANAjbb4b8QweT
即「妳」是所有y座標 = 0 的點的集合。
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從第二分句,知道了「妳」變化為完全在另一個象限的集合。顯然的,這是由於函數映射所致,但我們尚未知道是特定哪個象限。我們可以將其命名為「妳*」以便理解。
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將此函數命名為 f。設f : ℝ → ℝ²,於函數 f(x) 輸入所有「妳」的元素的 x 座標,可以得到「妳*」。
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另外,我們推斷出「我」、「妳*」的兩個共同性質:
1. x,y ≠ 0 ∀ (x,y) ∈「我」或「妳*」,47Please respect copyright.PENANAAJNPUlYGfn
即「我」、「妳*」沒有任何一個元素位於 x 或 y 軸。
2. ∄ (x₁,y₁),(x₂,y₂) ∈「我」或「妳*」 x₁ > 0 > x₂ ∨ y₁ > 0 > y₂,47Please respect copyright.PENANAnwH8dM3Py4
即它們各自的所有元素都只存在在某一個單一象限
3. ∀ (x₁,y₁) ∈「我」且 ∀ (x₂,y₂) ∈「妳*」,47Please respect copyright.PENANAaY1HUfbP4h
sgn(x₁) ≠ sgn(x₂) ∨ sgn(y₁) ≠ sgn(y₂)47Please respect copyright.PENANAVifY1wipFr
,即「我」、「妳*」不存在於同一象限。
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平行時的這兩年,我們的距離一直沒變
很一般的做同學,帶姓喊你不敢逾越
我應該再出格一點,讓斜率多幾倍
我們就能擺脫平行線,在遠處重疊?
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此處指出,「我」、「妳*」是一對不相交的平行線。首先,「線」指出了兩個重要的,「我」、「妳*」共同滿足的性質。47Please respect copyright.PENANACwHpyjkuBX
∀ (x₀,y₀),(x₁,y₁),(x₂,y₂) ∈「我」且47Please respect copyright.PENANAuTvUeFunHY
∀ (x₀,y₀),(x₁,y₁),(x₂,y₂) ∈「妳*」,47Please respect copyright.PENANAP7eUCDTyM7
即對於「我」或「妳*」的所有元素:
1. 線性:(x₁ - x₂)(y₀ - c) = (y₁ - y₂)x₀,其中 c ∈ ℝ,47Please respect copyright.PENANA9JiEUkaBwo
即 c,y 截,是任意實數。
2. 稠密性:∃ (x,y) ∈「我」、「妳*」 x₁ < x < x₂ ∧ y₁ < y < y₂,47Please respect copyright.PENANAJxHQMBIofH
即在兩個元素之間,必然有一個元素。
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其次,一對不相交的平行線,代表「我」、「妳*」滿足以下兩個性質。47Please respect copyright.PENANAVXElLCjs7W
∀ (x₁,y₁),(x₂,y₂) ∈「我」且47Please respect copyright.PENANAdY9Onsd2xD
∀ (x₃,y₄),(x₄,y₄) ∈「妳*」,47Please respect copyright.PENANABvDeHjAtgV
即對於「我」或「妳*」的所有元素:
1. 「我」∩「妳*」= ∅,47Please respect copyright.PENANAwoQivCxlfu
即「我」和「妳*」的交集是空集,即沒有交點。
2. m = (y₁ - y₂) / (x₁ - x₂) = (y₃ - y₄) / (x₃ - x₄) ∨ ( x₁ = x₂ ∧ x₃ = x₄),47Please respect copyright.PENANADdIBHJzzqL
即除非是垂直線,否則兩者斜率 m 相同。
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所以,我們可以用線性方程的形式表達「我」、「妳*」。47Please respect copyright.PENANACCPkBwrduz
∀ x,y ∈ ℝ,47Please respect copyright.PENANA2KeT4zTI7F
即對於所有實數 x,y:
「我」:a(y - c₁) = bx
「妳*」:a(y - c₂) = bx
其中 a,b,c₁,c₂ ∈ ℝ,47Please respect copyright.PENANAXVUM2o8uVv
即 a,b、c₁、c₂ 是任意實數;47Please respect copyright.PENANAFSmitz3Hmt
且 c₁ ≠ c₂。
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另外,此段呼應上文「妳」,由於「妳*」是直線,可以推論「妳」本是一條位於 x 軸的直線,即 y = 0。
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同時,此處有一個伏筆:「我」想讓自己的斜率「多幾倍」,代表不會轉換正負,從而在遠處與「妳*」重疊;但詩詞卻在最尾留了問號。那麼「我」、「妳*」的斜率,有可能相隔甚遠,或者斜率非常小,甚至是 0 或 未定義,以致於「我」的斜率未必能多幾倍;或即便「我」的斜率多幾倍,要與「妳*」相交還是很難。
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綜合以上線索,估算其中一個可能:47Please respect copyright.PENANAnu4Sq39jcE
「我」: y = -C,47Please respect copyright.PENANABieD6V6oST
而「妳*」:y = C,47Please respect copyright.PENANAF5aW5yQJwg
其中 C 是任意正實數。
藍線的「我」如果斜率上升,便有機會在遠處與紅線的「妳*」交會;但「我」的斜率明顯為 0,這是考慮到上文提及的詩詞中的伏筆。
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開始漸進的這一年,抱歉我已多設立了一個軸線
注定不可能的曲線,原諒我漸近線本就靠兩邊
與原點漸行漸遠,兩軸卻都不見交會的點
我應該選擇專心靠向妳這邊
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此處軸線應指對稱軸,可以想像「我」具有某種對稱性,47Please respect copyright.PENANAPgm6kfSJKv
亦即可以透過代入 x = g(u),讓 f(g(u)) 成為偶函數。
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重溫偶函數的定義:
f(-x) = f(x)
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漸近線「靠兩邊」,但「兩軸卻都不見交會的點」,這給了一個很明確的限定範圍:「我」的對稱軸與漸近線都不能與「妳*」交會。然而「我」、「妳*」本是平行線,而平行線的對稱軸垂直於自身,斜率並不相等,所以必然與自身的平行線相交。
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可以推論,「我」透過了一個函數 g : ℝ² → ℝ²,映射成為「我*」,而「我*」滿足以下性質:
1. 「我*」有漸近線,所以是曲線。
2. 「我*」的對稱軸與漸近線不與「妳*」交會。由於「妳*」只在單一象限,「我*」及其對稱軸與漸近線只能在其餘三個象限裡。
3. 對稱軸與漸近線是無限制的直線,所以至少會跨越兩個象限,呼應「原諒我漸近線本就靠兩邊」。
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暫且不為「我*」下嚴謹定義,因為接下來的詩詞為我們提供了很重要的線索。
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如今我們的距離已不只是軸線,分散於一四象限
我曾試著往Y軸,卻勾不著她一丁點
回頭想繼續漸近你的軸線,卻因空間斷了線
這遙遠的距離到底要用什麼填?
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這裡交代了兩個重要的訊息:
1. 「我*」的對稱軸是另一個集合的漸近線;反之亦然。
2.「我*」「試著往Y軸,卻勾不著她一丁點」,即「我*」的漸進線是 y 軸。
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「妳*」是一條直線,唯有再透過函數映射成為「妳**」。
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至此,兩者的樣貌已經明朗。我們再看看下一段。
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拜託時間再給我一次機會,返回、反悔
我將扭轉時空,扭轉命運,顛覆雙軸線
讓我們這兩點重疊,對你不再虧欠
如果可以,我將對稱到你那邊,兩點交會
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「顛覆雙軸線」、「對稱到你那邊」,加上前一段「我*」「試著往Y軸,卻勾不著她一丁點」,幾乎可以肯定地下定論:
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「我*」與「妳**」是沿著 y 軸對稱的兩條線。那麼兩者的函數,必定是正負對應。
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那麼「我*」對稱軸如何是「妳**」的漸近線呢?首先,兩者沿著 y 軸對稱,所以「我*」對稱軸如果是「妳**」的漸近線,那也是自己的漸近線。
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由此,我想到一個可能:
「我*」:y = - 1 / x² { x > 0 }
「妳**」:y = 1 / x² { x > 0 }
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{ x > 0 } 的作用,是確保兩者停留在各自的象限;而 1 / x²,是一個很特別的函數,它是偶函數,而對稱軸亦是其漸近線。
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兩條曲線的戀愛故事,至此落幕。
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她是天上獨異的仙子,我是地下一般的人兒。
她輕柔地滑下來,我艱苦地爬上去。
我們看到彼此,我們走向對方。
位於無窮遠處,方以無窮近對。
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哈哈哈,玩了個雖小但長的玩笑。
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一開始看到漸近線這首詩,看到是數學的內容,心裡就有點躁動不已;再看看題目,竟然可以用詩的註解參加創挑,我就決定了,要來個大玩特玩XD
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最後的短短的詩,玩了一點寬對,希望你覺得有趣,嘿嘿。
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本來想再寫下面第二首的,但一來有可能使得套路相似而沉悶,二來我怕趕不上,抱歉 Orz
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