storiette I - ［9］

如何快速得到FTC！

第一步：定義面積函數 A(x)

假設我們想計算函數 y = f(x) 下方，從固定的起點 a 到變動的終點 x 之間的面積。我們稱這個面積為 A(x)。

數學寫法是：

$$A(x) = \int_a^x f(x) dx$$

當我們把 x 往右推一點點 dx，面積增加 dA，所以：

$$A'(x) = f(x)$$

這告訴我們：A(x) 是 f(x) 的其中一個反導數（Antiderivative）。

第二步：引入任意原函數 F(x)

在計算積分時，我們通常會先算出一個「不定積分」F(x)。

因為 A(x) 和 F(x) 都是 f(x) 的原函數，根據微積分原理，兩個原函數之間只會相差一個常數 C。

所以我們可以寫出這個關係式：

$$A(x) = F(x) + C$$

第三步：利用「起點」找出常數 C

這是最關鍵的一步。

回顧 A(x)的定義：它是從 a 積到 x 的面積。

如果我們讓 x 回到起點 a（即計算從 a 到 a 的面積），面積會是多少？

答案顯然是 0（因為寬度為 0）。

所以我們得到邊界條件：

$$A(a) = 0$$

將x=a代入第二步的關係式中：

$$A(a) = F(a) + C$$

$$0 = F(a) + C$$

由此可得常數 C 的值：

$$C = -F(a)$$

第四步：推導出「末項減初項」

現在我們把求得的C = -F(a)放回原來的關係式中，得到面積函數的完整表達式：

$$A(x) = F(x) - F(a)$$

最後，假設我們想算從 a 到 b 的總面積（定積分），也就是求 A(b)：

把 x=b 代入上式：

$$A(b) = F(b) - F(a)$$

這就是為什麼定積分等於「原函數在終點的值」減去「原函數在起點的值」。

直觀總結

微分逆運算： 你發現面積函數 A(x) 的變化率就是高度 y，所以 A(x) 必然是 y 的原函數。
常數的抵銷： 任何原函數 F(x) 都包含此面積資訊，但可能帶有一個基準誤差（常數 C）。
相減的意義： 當我們計算 F(b) - F(a) 時，那個未知的常數 C 被減掉了，(A(b)+C) - (A(a)+C) = A(b) - 0，剩下的就是純粹的面積增量。

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