血之刃 - 就可以了

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從公車上一躍而下，我來到隔壁鎮的高中參加之前報考的模擬考。信在我之後也跳下公車。「好阿，我們進去吧。」

「嗯。」

來到大門口的佈告欄前。我跟謙都是第一考場。

「第一，感覺是好兆頭。」信開心的說。

「你開心就好。地圖上說第一考場在右邊的樓梯爬到四樓。」

「四樓......」

「才四層樓阿，走吧。」

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我的座位在最內側最後一排，信的座位在我右前方兩個。我用最小的音量坐下，在我跟信都坐定後，考場就恢復一個令人窒息的寧靜。壓抑感好重！

沒事，只要開始答題，腦子就會自動恢復正常了。

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早上九點二十分清場，我們全部人都走出教室。大家的緊繃感稍稍釋放了一下，但十分鐘後就開始答題，緊張感還是不可能完全放鬆。我玩弄著手上的鉛筆盒，希望自己能稍稍冷靜下來。

「各位同學可以回到座位上，等待鈴聲響起開始作答。」

我回到座位上看向試題本封面，第一顆是數學。答題本有點厚，我有點小擔心。

九點半。鐘生響起。「請各位考生開始作答。」

我翻開題本。

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第一題

群是由元素（集合）和二元運算構成，且符合群的四項公理的數學結構。群的公理如下：（設本群G的二元運算為#）

G1（封閉性）：對於所有G中的任意元素x, y，運算x#y的結果也在G中。

G2（結合律）：對於所有G中的x, y和z，等式 (x#y)#z = x#(y#z)成立。

G3（單位元素）：G中存在一個元素e，使得所有G中的任意元素x，總有等式

e#x= x#e = e 成立。

G4（反元素）：對於所有G中的任意x，總是存在G中的一個元素y使得x#y=y#x = e，此處e為單位元素。

請用以上群的公理證明「不存在有兩個單位元素的群」。

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好，我在其他書（註1）上看過證法。這題我有信心。

我提起筆，在答題本第一題的空格開始寫。

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根據G3，假設我們從群G挑出兩個有單位元素性質的元素為 e , f

再挑一個元素g , e#g=g , f#g=g , e#g = f#g ( G3 ) (註2）

根據G4，可以再挑一g的反元素h , e#g#h = f#g#h 且g#h = e v f (註2）

根據G2，e#(g#h) = f#(g#h) , e#e = f#f

根據G3，e#e=e , f#f=f , e=f

至此，我們 (註3) 證明，從任意符合公理的群找出的兩個單位元素，其實是相等的同一元素。證明結束。

OK，下一題......

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註1：如果喜歡數學，<數學女孩> 真的很好看。如果不喜歡就算了，幾乎整本都是數學。

註2：這裡可能有人會想把g直接刪掉。但不是所有群都能等式兩邊同時刪掉一個數。下面是我建構符合群的公理的群的運算表。（有四個元素。）

# | A | B | C | O |

------|------------------------------------------------------------------------------------

A | A | O | C | A |

B | O | B | C | B |

C | C | C | O | C |

O | A | B | C | O |

這裡所有運算都只會得到A、B、C、O （ G1 )

（A#B)#O = A#(B#O)= O , (A#C)#B = A#(C#B) = C (G2)

O 是單位元素（G3）

A的反元素是B，B的反元素是A，C的反元素是C， O的反元素是O （G4)

但 A#B#C = A#O#C ，把C刪掉，A#B ≠ A#O

有人可能好奇那為何可以同時乘以h，這其實是和也沒有寫到那麼詳細。

說明：根據G1，e#g 和 f#g 的值一定在G內，假設是元素i，則因 e#g = f#g = i , i#h 當然等於 i#h 。

還有那個 v 是「或」的意義，數學符號，大部分人應該學過。136Please respect copyright.ＰＥＮＡＮＡwFLkQwv4ZX

希望我解釋的夠清楚。

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